3 veidi, kā atrisināt algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos

Satura rādītājs:

3 veidi, kā atrisināt algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos
3 veidi, kā atrisināt algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos

Video: 3 veidi, kā atrisināt algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos

Video: 3 veidi, kā atrisināt algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos
Video: BERMUDU DIVSTŪRIS x APVEDCEĻŠ - Brāl' Ar Dzīvi Nekaulē 2024, Marts
Anonim

"Vienādojumu sistēmā" jums tiek lūgts vienlaikus atrisināt divus vai vairākus vienādojumus. Ja tajos ir divi dažādi mainīgie, piemēram, x un y, vai a un b, no pirmā acu uzmetiena var būt sarežģīti uzzināt, kā tos atrisināt. Par laimi, tiklīdz jūs zināt, kas jādara, viss, kas jums nepieciešams, ir pamata algebras prasmes (un dažreiz dažas zināšanas par daļām), lai atrisinātu problēmu. Ja esat vizuāli apguvis vai ja jūsu skolotājs to pieprasa, uzziniet, kā arī noformēt vienādojumus. Grafika var būt noderīga, lai "redzētu, kas notiek" vai pārbaudītu jūsu darbu, taču tā var būt lēnāka nekā citas metodes, un tā nedarbojas labi visām vienādojumu sistēmām.

Soļi

1. metode no 3: Aizvietošanas metodes izmantošana

Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 1. darbība
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 1. darbība

1. solis. Pārvietojiet mainīgos uz vienādojuma dažādām pusēm

Šī "aizvietošanas" metode sākas, "atrisinot x" (vai jebkuru citu mainīgo) vienā no vienādojumiem. Piemēram, pieņemsim, ka jūsu vienādojumi ir 4x + 2g = 8 un 5x + 3g = 9. Sāciet, apskatot tikai pirmo vienādojumu. Pārkārtojiet to, atņemot 2y no katras puses, lai iegūtu: 4x = 8-2 gadi.

Šī metode vēlāk bieži izmanto frakcijas. Ja jums nepatīk frakcijas, varat izmēģināt tālāk norādīto eliminācijas metodi

Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 2. darbība
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 2. darbība

2. solis. Sadaliet abas vienādojuma puses, lai "atrisinātu x

" Kad vienādojuma vienā pusē ir x termins (vai tas, kuru mainīgo izmantojat), sadaliet abas vienādojuma puses, lai iegūtu mainīgo atsevišķi. Piemēram:

  • 4x = 8-2 gadi
  • (4x)/4 = (8/4) - (2g/4)
  • x = 2 - ½ g
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 3. darbība
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 3. darbība

Solis 3. Pievienojiet to atpakaļ citam vienādojumam

Pārliecinieties, ka atgriežaties pie cita vienādojuma, nevis pie jau izmantotā. Šajā vienādojumā nomainiet mainīto mainīgo, lai paliktu tikai viens mainīgais. Piemēram:

  • Tu to zini x = 2 - ½ g.
  • Jūsu otrais vienādojums, kuru vēl neesat mainījis, ir 5x + 3g = 9.
  • Otrajā vienādojumā aizstājiet x ar "2 - ½ y": 5 (2 - ½ g) + 3 g = 9.
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos

Solis 4. Atrisiniet atlikušo mainīgo

Tagad jums ir vienādojums ar tikai vienu mainīgo. Izmantojiet parastās algebras metodes, lai atrisinātu šo mainīgo. Ja mainīgie mainās, pārejiet uz pēdējo darbību.

Pretējā gadījumā jūs saņemsit atbildi uz vienu no mainīgajiem:

  • 5 (2 - ½ g) + 3 g = 9
  • 10 - (5/2) y + 3y = 9
  • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Ja jūs nesaprotat šo soli, uzziniet, kā pievienot frakcijas. Šī metode bieži, bet ne vienmēr ir nepieciešama.)
  • 10 + ½ g = 9
  • ½ g = -1
  • y = -2
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 5. darbība
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 5. darbība

Solis 5. Izmantojiet atbildi, lai atrisinātu citu mainīgo

Nepieļaujiet kļūdu, atstājot problēmu puspabeigtu. Atbilde, kas iegūta atpakaļ, jāpievieno vienam no sākotnējiem vienādojumiem, lai jūs varētu atrisināt citu mainīgo:

  • Tu to zini y = -2
  • Viens no sākotnējiem vienādojumiem ir 4x + 2g = 8. (Šajā darbībā varat izmantot jebkuru vienādojumu.)
  • Pievienojiet -2, nevis y: 4x + 2 (-2) = 8.
  • 4x - 4 = 8
  • 4x = 12
  • x = 3
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 6. darbība
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 6. darbība

6. solis. Ziniet, kā rīkoties, ja abi mainīgie tiek atcelti

Kad pievienojat kontaktdakšu x = 3g+2 vai līdzīgu atbildi citā vienādojumā, jūs mēģināt iegūt vienādojumu tikai ar vienu mainīgo. Dažreiz jūs iegūstat vienādojumu bez mainīgajiem. Vēlreiz pārbaudiet savu darbu un pārliecinieties, ka pievienojat (pārkārtoto) pirmo vienādojumu otrajam, nevis tikai vēlreiz vienādojumam. Ja esat pārliecināts, ka neesat pieļāvis nekādas kļūdas, jums ir viens no šiem rezultātiem:

  • Ja jūs iegūstat vienādojumu, kuram nav mainīgo un kas nav patiess (piemēram, 3 = 5), problēma ir nav risinājuma. (Ja attēlotu abus vienādojumus, jūs redzētu, ka tie ir paralēli un nekad nekrustojas.)
  • Ja jūs iegūstat vienādojumu bez mainīgiem, kas ir patiess (piemēram, 3 = 3), problēma ir bezgalīgi risinājumi. Abi vienādojumi ir precīzi vienādi viens ar otru. (Ja attēlotu abus vienādojumus, jūs redzētu, ka tie ir viena un tā pati līnija.)

2. metode no 3: Eliminācijas metodes izmantošana

Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 7. darbība
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 7. darbība

1. solis. Atrodiet mainīgo, kas atceļ

Dažreiz vienādojumi jau "atceļ" mainīgo, kad tos pievienojat. Piemēram, apvienojot vienādojumus 3x + 2g = 11 un 5x - 2g = 13, "+2y" un "-2y" atcels viens otru, noņemot visus "y" no vienādojuma. Apskatiet savas problēmas vienādojumus un noskaidrojiet, vai kāds no mainīgajiem tiks atcelts. Ja neviens no viņiem to nedarīs, izlasiet padomu nākamajā solī.

Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 8. darbība
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 8. darbība

2. solis. Reiziniet vienu vienādojumu, lai mainīgais tiktu atcelts

(Izlaidiet šo soli, ja mainīgie jau tiek atcelti.) Ja vienādojumiem nav mainīgā, kas dabiski tiek atcelts, mainiet vienu no vienādojumiem, lai tie mainītos. To ir visvieglāk sekot, izmantojot piemēru:

  • Jums ir vienādojumu sistēma 3x - y = 3 un - x + 2g = 4.
  • Maināsim pirmo vienādojumu tā, lai g mainīgais tiks atcelts. (Tu vari izvēlēties x tā vietā, un galu galā jūs saņemsiet to pašu atbildi.)
  • The - g pirmajā vienādojumā jāatceļ ar + 2 g otrajā vienādojumā. Mēs to varam panākt, reizinot - g ar 2.
  • Reiziniet abas pirmā vienādojuma puses ar 2 šādi: 2 (3x - y) = 2 (3), tā 6x - 2g = 6. Tagad - 2 gadi tiks atcelts ar +2 g otrajā vienādojumā.
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 9. darbība
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 9. darbība

Solis 3. Apvienojiet abus vienādojumus

Lai apvienotu divus vienādojumus, pievienojiet kreisās puses kopā un labās puses kopā. Ja pareizi iestatāt vienādojumu, vienam no mainīgajiem vajadzētu atcelt. Šeit ir piemērs, izmantojot tos pašus vienādojumus kā pēdējais solis:

  • Jūsu vienādojumi ir 6x - 2g = 6 un - x + 2g = 4.
  • Apvienojiet kreisās puses: 6x - 2g - x + 2y =?

  • Apvienojiet labās puses: 6x - 2g - x + 2y = 6 + 4.
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 10. darbība
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 10. darbība

Solis 4. Atrisiniet pēdējo mainīgo

Vienkāršojiet kombinēto vienādojumu, pēc tam izmantojiet pamata algebru, lai atrisinātu pēdējo mainīgo. ' Ja pēc vienkāršošanas nav mainīgo, pārejiet uz šīs sadaļas pēdējo soli.

Pretējā gadījumā jums vajadzētu iegūt vienkāršu atbildi uz kādu no mainīgajiem. Piemēram:

  • Tev ir 6x - 2g - x + 2y = 6 + 4.
  • Grupējiet x un g mainīgie kopā: 6x - x - 2g + 2y = 6 + 4.
  • Vienkāršojiet: 5x = 10
  • Atrisiniet x: (5x)/5 = 10/5, tā x = 2.
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 11. darbība
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 11. darbība

Solis 5. Atrisiniet citu mainīgo

Jūs esat atradis vienu mainīgo, bet vēl neesat to darījis. Pievienojiet savu atbildi vienam no sākotnējiem vienādojumiem, lai jūs varētu atrisināt citu mainīgo. Piemēram:

  • Tu to zini x = 2, un viens no jūsu sākotnējiem vienādojumiem ir 3x - y = 3.
  • Pievienojiet 2, nevis x: 3 (2) - y = 3.
  • Atrisiniet y vienādojumā: 6 - y = 3
  • 6 - y + y = 3 + y, tā 6 = 3 + y
  • 3 = y
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 12. darbība
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 12. darbība

6. solis. Ziniet, kā rīkoties, ja abi mainīgie tiek atcelti

Dažreiz, apvienojot abus vienādojumus, iegūst vienādojumu, kuram nav jēgas vai vismaz tas nepalīdz atrisināt problēmu. Pārbaudiet savu darbu no paša sākuma, bet, ja neesat kļūdījies, pierakstiet vienu no atbildēm:

  • Ja jūsu kombinētajam vienādojumam nav mainīgo un tas nav patiess (piemēram, 2 = 7), tad ir nav risinājuma kas darbosies abos vienādojumos. (Ja attēlojat abus vienādojumus, redzēsit, ka tie ir paralēli un nekad nesakrustojas.)
  • Ja jūsu kombinētajam vienādojumam nav mainīgo un tas ir patiess (piemēram, 0 = 0), tad tādi ir bezgalīgi risinājumi. Abi vienādojumi patiesībā ir identiski. (Ja tos grafiski attēlosit, redzēsit, ka tie ir vienā rindā.)

3. metode no 3: vienādojumu attēlošana

Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 13. darbība
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 13. darbība

1. darbība. Izmantojiet šo metodi tikai tad, kad tas ir norādīts

Ja vien neizmantojat datoru vai grafiskos kalkulatorus, daudzas vienādojumu sistēmas var atrisināt tikai aptuveni, izmantojot šo metodi. Jūsu skolotājs vai matemātikas mācību grāmata var pieprasīt, lai jūs izmantotu šo metodi, lai jūs iepazītos ar vienādojumu grafiku kā līnijas. Varat arī izmantot šo metodi, lai vēlreiz pārbaudītu savas atbildes no kādas citas metodes.

Pamatideja ir grafiski attēlot abus vienādojumus un atrast punktu, kur tie krustojas. X un y vērtības šajā brīdī sniegs mums x vērtību un y vērtību vienādojumu sistēmā

Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 14. darbība
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 14. darbība

Solis 2. Atrisiniet abus vienādojumus y

Turot abus vienādojumus atsevišķi, izmantojiet algebru, lai katru vienādojumu pārvērstu formā "y = _x + _". Piemēram:

  • Jūsu pirmais vienādojums ir 2x + y = 5. Mainiet šo uz y = -2x + 5.
  • Jūsu otrais vienādojums ir - 3x + 6y = 0. Mainiet šo uz 6g = 3x + 0, tad vienkāršojiet līdz y = ½x + 0.
  • Ja abi vienādojumi ir identiski, visa līnija būs "krustojums". Rakstīt bezgalīgi risinājumi.
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 15. solis
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 15. solis

Solis 3. Zīmējiet koordinātu asis

Uz grafika papīra uzzīmējiet vertikālu "y asi" un horizontālu "x asi". Sākot no vietas, kur tie krustojas, atzīmējiet ciparus 1, 2, 3, 4 utt., Virzoties uz augšu uz y ass un atkal virzoties tieši pa x asi. Iezīmējiet skaitļus -1, -2 utt., Kas pārvietojas uz leju pa y asi un pa kreisi uz x ass.

  • Ja jums nav grafiskā papīra, izmantojiet lineālu, lai pārliecinātos, ka skaitļi ir izvietoti precīzi viens no otra.
  • Ja izmantojat lielus ciparus vai decimāldaļas, jums, iespējams, būs jāmaina diagramma citādi. (Piemēram, 10, 20, 30 vai 0,1, 0,2, 0,3, nevis 1, 2, 3).
16. solis. Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos
16. solis. Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos

4. solis. Uzzīmējiet y līniju krustojumu katrai līnijai

Kad veidlapā ir vienādojums y = _x + _, varat sākt to attēlot, uzzīmējot punktu vietā, kur līnija pārtver y asi. Tas vienmēr būs ar y vērtību, kas vienāda ar pēdējo vienādojuma pēdējo skaitli.

  • Mūsu iepriekšējos piemēros viena rinda (y = -2x + 5) pārtver y asi pie

    5. solis.. Otrs (y = ½x + 0) pārtver plkst 0. (Tie ir grafika punkti (0, 5) un (0, 0).)

  • Ja iespējams, abām līnijām izmantojiet dažādu krāsu pildspalvas vai zīmuļus.
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 17. darbība
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 17. darbība

Solis 5. Izmantojiet slīpumu, lai turpinātu līnijas

Veidlapā y = _x + _, skaitlis x priekšā ir līnijas slīpums. Katru reizi, kad x palielinās par vienu, y vērtība palielināsies par slīpuma lielumu. Izmantojiet šo informāciju, lai diagrammā uzzīmētu punktu katrai līnijai, kad x = 1. (Alternatīvi pievienojiet x = 1 katram vienādojumam un atrisiniet ar y.)

  • Mūsu piemērā līnija y = -2x + 5 ir slīpums no - 2. Pie x = 1 līnija pārvietojas uz leju 2 no punkta pie x = 0. Zīmējiet līnijas segmentu starp (0, 5) un (1, 3).
  • Līnija y = ½x + 0 ir slīpums no ½. Pie x = 1 līnija virzās uz augšu ½ no punkta pie x = 0. Zīmējiet līnijas segmentu starp (0, 0) un (1, ½).
  • Ja līnijām ir vienāds slīpums, līnijas nekad nekrustojas, tāpēc vienādojumu sistēmai nav atbildes. Rakstīt nav risinājuma.
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 18. darbība
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 18. darbība

6. solis. Turpiniet zīmēt līnijas, līdz tās krustojas

Apstājieties un apskatiet savu grafiku. Ja līnijas jau ir šķērsojušas, pārejiet uz nākamo soli. Pretējā gadījumā pieņemiet lēmumu, pamatojoties uz līniju darbību:

  • Ja līnijas virzās viena pret otru, turpiniet zīmēt punktus šajā virzienā.
  • Ja līnijas attālinās viena no otras, virzieties atpakaļ un uzzīmējiet punktus citā virzienā, sākot ar x = -1.
  • Ja līnijas nav tuvu viena otrai, mēģiniet lēkt uz priekšu un uzzīmēt attālākus punktus, piemēram, pie x = 10.
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 19. darbība
Atrisiniet algebrisko vienādojumu sistēmas, kas satur divus mainīgos 19. darbība

Solis 7. Atrodiet atbildi krustojumā

Kad abas līnijas krustojas, x un y vērtības tajā brīdī ir atbilde uz jūsu problēmu. Ja paveiksies, atbilde būs vesels skaitlis. Piemēram, mūsu piemēros abas līnijas krustojas (2, 1) tātad tava atbilde ir x = 2 un y = 1. Dažās vienādojumu sistēmās līnijas krustojas ar vērtību starp diviem veseliem skaitļiem, un, ja jūsu grafiks nav ārkārtīgi precīzs, būs grūti pateikt, kur tas atrodas. Ja tā notiek, varat uzrakstīt atbildi, piemēram, "x ir no 1 līdz 2", vai izmantot aizvietošanas vai izslēgšanas metodi, lai atrastu precīzu atbildi.

Video - izmantojot šo pakalpojumu, daļa informācijas var tikt kopīgota ar pakalpojumu YouTube

Padomi

  • Jūs varat pārbaudīt savu darbu, pievienojot atbildes atpakaļ sākotnējos vienādojumos. Ja vienādojumi ir patiesi (piemēram, 3 = 3), jūsu atbilde ir pareiza.
  • Izslēgšanas metodē dažreiz jums būs jāreizina viens vienādojums ar negatīvu skaitli, lai mainīgais tiktu atcelts.

Brīdinājumi

Šīs metodes nevar izmantot, ja ir mainīgais, kas paaugstināts līdz eksponentam, piemēram, x2. Lai iegūtu papildinformāciju par šāda veida vienādojumiem, meklējiet ceļvedi kvadratikas faktorēšanai ar diviem mainīgajiem.

Ieteicams: